常微分的方程

方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。

但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动 变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。

物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。

解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。

在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。

牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

定义1 凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下： 　F(x, y, y',..., y(n)) = 0

定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。

如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。

常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。

一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。

大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。

现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、半导体物理学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。

从“求通解”到“求解定解问题”　数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时间里，人们致力于“求通解”。但是以下三种原因使得这种“求通解”的努力，逐渐被放弃。 第一，能求得通解的方程显然是很少的。在常微分方程方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，维数是很小的。高阶方程中，线性方程仍可以用叠加原理求解，即n阶齐次方程的通解是它的n个独立特解的线性组合，其系数是任意常数。非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，这个特解并且可以用常数变易法通过求积分求得。求齐次方程的特解，当系数是常数时可归结为求一代数方程的根，这个代数方程的次数则是原方程的阶数;当系数是变数时，则只有二种极特殊的情况（欧拉方程、拉普拉斯方程）可以求得。至于非线性高阶方程则除了少数几种可降阶情形(如方程(1)就是这几种情形都有的一个方程)之外，可以求得通解的为数就更小了。n阶方程也可以化为一阶方程组（未知函数的个数和方程的个数都等于 n）早已为人们所知，并且在此后起着一定作用，但对通解的寻求仍无济于事。

在偏微分方程方面，一阶方程可以归结为一阶常微分方程组，但是如上所述，一阶常微分方程组可以求得通解的还是很少的。高阶方程中几乎只有少数二阶方程（如□，以及□，当用瀑布法时在一系列不变量中有一个开始为零的情形，和少数极个别的非线性方程如□□-□□□=□0等等）可以求得通解。在线性情形，推广常数变易法则是杜阿美原理。

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下列方程都是微分方程 (其中 y, v均为未知函数).

(1) y'= kx, k 为常数；

(2) ( y - 2xy) dx + x² dy = 0；

(3) mv'(t) = mg - kv(t)；

一般形式：F（x,y,y'）=0

标准形式：y'=f(x,y)

1.可分离变量的一阶微分方程

2.齐次方程

3.一阶线性微分方程

4.伯努利方程

5.全微分方程

书 名: 常微分方程

作　者：丁同仁　编

出版社： 高等教育出版社

出版时间： 2010-4-1

ISBN: 9787040292046

开本： 16开

定价: 18.40元

在数学的应用中微分方程是一个活跃的分支。这不是偶然的，因为许多自然科学的定律可以通过微分方程得到精确的表达(例如牛顿的第二运动定律)。实际上，微分方程的应用已深入到许多学科之中。为此，人们需要熟悉其中一些基础的内容。

本书取材于作者在北京大学数学力学系讲授“常微分方程”这门基础课时的一些讲义。内容包括基本概念、初等积分法、存在、唯一性定理、二阶微分方程、幂级数解法、拉普拉斯变换、边值问题、微分方程组、首次积分、一阶拟线性偏微分方程。

第一章 基本概念

第二章 初等积分法

第三章 存在、唯一性定理

第四章 二阶微分方程

第五章 幂级数解法

第六章 拉普拉斯变换

第七章 边值问题

第八章 微分方程组

第九章 首次积分

第十章 一阶拟线性偏微分方程

参考文献

书名：常微分方程

ISBN：9787302177616

作者：焦宝聪 等

定价：29.8元

出版日期：2008-9-1

出版社：清华大学出版社

本书分为7章： 基本概念，一阶方程的初等积分法，一阶方程的一般理论，高阶微分方程，微分方程组，定性理论与稳定性理论初步，差分方程．内容取材精练，注重概念实质的揭示、定理思路的阐述、应用方法的介绍和实际例子的分析，并配合内容引入了数学软件．每章配有习题，全部计算题都有答案，个别证明题有提示．

本书可用作师范院校、理工科大学的数学类各专业的教科书和部分理工科其他专业的参考书．

第1章基本概念

1.1微分方程的例子

习题1.1

1.2基本概念

1.2.1常微分方程和偏微分方程

1.2.2解和通解

1.2.3积分曲线和积分曲线族

习题1.2

第2章 一阶方程的初等积分法

2.1变量可分离方程

习题2.1

2.2齐次方程

习题2.2

2.3一阶线性方程

习题2.3

2.4全微分方程

2.4.1全微分方程

2.4.2积分因子

习题2.4

2.5一阶隐方程

2.5.1可解出y的方程

2.5.2不显含x的方程

习题2.5

2.6应用举例

习题2.6

第3章 一阶方程的一般理论

3.1微分方程及其解的几何解释

3.1.1方向场

3.1.2图像法

3.1.3欧拉折线

习题3.1

3.2毕卡存在与唯一性定理

习题3.2

3.3解的延拓

习题3.3

3.4解对初值的连续性

习题3.4

3.5解对初值的可微性

习题3.5

3.6一阶隐方程的奇解

3.6.1一阶隐方程解的存在与唯一性定理

3.6.2p?判别曲线法

3.6.3c?判别曲线法

习题3.6

第4章高阶微分方程

4.1高阶微分方程

4.1.1引论

4.1.2高阶微分方程的降阶法

习题4.1

4.2高阶线性齐次微分方程

4.2.1线性齐次微分方程的一般理论

4.2.2常系数线性齐次微分方程的解法

4.2.3某些变系数线性齐次微分方程的解法

习题4.2

4.3二阶线性齐次微分方程的幂级数解法

4.3.1引言

4.3.2常点邻域内的幂级数解

4.3.3正则奇点邻域内的广义幂级数解

4.3.4两个特殊方程

习题4.3

4.4高阶线性非齐次微分方程

4.4.1线性非齐次微分方程的一般理论

4.4.2常系数线性非齐次微分方程的解法

习题4.4

4.5应用举例

4.5.1弹簧振动问题

4.5.2电磁振荡问题

4.5.3弹簧振动的微分方程的求解

习题4.5

第5章微分方程组

5.1微分方程组的基本概念

5.1.1引言

5.1.2解的存在唯一性定理

5.1.3化为高阶方程法和可积组合法

习题5.1

5.2线性齐次微分方程组

5.2.1线性齐次微分方程组的一般理论

5.2.2常系数线性齐次微分方程组的解法

习题5.2

5.3一阶线性非齐次微分方程组

5.3.1线性非齐次微分方程组的一般理论

5.3.2常系数线性非齐次微分方程组的解法

习题5.3

5.4应用举例

5.4.1捕食者与被捕食者的生态问题

5.4.2多回路的电路问题

习题5.4

第6章定性理论与稳定性理论初步

6.1定常系统

6.1.1动力系统、相空间与轨线

6.1.2定常系统轨线的类型

习题6.1

6.2平面定常系统的奇点

6.2.1线性系统的奇点

6.2.2非线性系统的奇点

习题6.2

6.3解的稳定性

6.3.1李雅普诺夫(Liapunov)稳定性的概念

6.3.2按线性近似法判别稳定性

6.3.3李雅普诺夫直接法

习题6.3

6.4极限环

6.4.1极限环的概念

6.4.2极限环存在性的判别

习题6.4

第7章差分方程

7.1基本概念

习题7.1

7.2一阶差分方程

7.2.1一阶线性差分方程

7.2.2一阶非线性差分方程

习题7.2

7.3高阶线性差分方程的一般理论

7.3.1解的简单性质

7.3.2通解的结构

7.3.3阿贝尔(Abel)定理

习题7.3

7.4二阶常系数线性差分方程的解法

7.4.1Rn≡0的情形

7.4.2Rn?0的情形

习题7.4

附录A常微分方程发展概要

附录B答案与提示

参考文献