数学物理学

数学物理学是以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法。它探讨物理现象的数学模型，即寻求物理的 数学描述，并对模型已确立的物理问题研究其数学解法，然后根据解答来诠释和预见物理现象，或者根据物理事实来修正原有模型。

物理问题的研究一直与数学密切相关。作为近代物理学始点的牛顿力学中，质点和刚体的运动用常微分程 来刻画，求解这些方程就成为牛顿力学中的重要数学问题。这种研究一直持续到今天。例如，天体力学中的三体问题和各种经典的动力系统都是长期研究的对象。

在十八世纪中，牛顿力学的基础开始由变分原理所刻画，这又促进了变分法的发展，并且到后来，许多物理理论都以变分原理作为自己的基础。

十八世纪以来，在连续介质力学、传热学和电磁场理论中，归结出许多偏微分方程通称数学物理方程(也包括有物理意义的积分方程、微分积分方程和常微分方程)。直到二十世纪初期，数学物理方程的研究才成为数学物理的主要内容。

此后，联系于等离子体物理、固体物理、非线性光学、空间技术核技术等方面的需要，又有许多新的偏微分方程问题出现，例如孤立子波、间断解、分歧解、反问题等等。它们使数学物理方程的内容进一步丰富起来。复变函数、积分变换、特殊函数、变分法、调和分析、泛函分析以至于微分几何、代数几何都已是研究数学物理方程的有效工具。

从二十世纪开始，由于物理学内容的更新，数学物理也有了新的面貌。伴随着对电磁理论和引力场的深入研究，人们的时空观念发生了根本的变化，这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论。许多物理量以向量、张量和旋量作为表达形式在探讨大范围时空结构时，还需要整体微分几何。

随着电子计算机的发展，数学物理中的许多问题可以通过数值计算来解决，由此发展起来的“计算力学”“计算物理”都发挥着越来越大的作用。计算机直接模拟物理模型也成为重要的方法。此外各种渐近方法也继续获得发展。

量子力学和量子场论的产生，使数学物理添加了非常丰富的内容。在量子力学中物质的态用波函数刻画，物理量成为算子，测量到的物理量是算子的谱。在量子场论中波函数又被二次量子化成为算子，在电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用中描述粒子的产生和消灭 因此，必须研究各种函数空间的算子谱、函数的谱分析和由算子所形成的代数。同时还要研究微扰展开和重正化(处理发散困难)的数学基础。此外，用非微扰方法研究非线性场论也是一个令人注目的课题。

物理对象中揭示出的多种多样的对称性，使得群论显得非常有用。晶体的结构就是由欧几里得空间运动群的若干子群给出。正交群和洛伦茨群的各种表示对讨论具有时空对称性的许多物理问题有很重要的作用。

基本粒子之间，也有种种对称性，可以按群论明确它们的某些关系。对基本粒子的内在对称性的研究更导致了杨-米尔斯理论的产生。它在粒子物理学中意义重大，统一了弱相互作用和电磁相互作用的理论，提供了研究强子结构的工具。这个理论以规范势为出发点，而它就是数学家所研究的纤维丛上的联络(这是现代微分几何学中非常重要的一个概念)。有关纤维丛的拓扑不变量也开始对物理学发挥作用。

微观的物理对象往往有随机性。在经典的统计物理学中需要对各种随机过程的统计规律有深入的研究。

数学物理学(mathematieal physies) 是物理学的一个领域，其目的是在假定物理学基本定律已经知道的条件下，主要依靠数学上求解的方法来为已较好地确立了的物理学理论推导出结果。其所以能成为一种富有成效的方法，主要是由于在理论物理学不同领域中所提出的一些数学问题之间存在着紧密类似之处。在许多不同的课题中都会遇到同样的一组偏微分方程。

数学物理学中的某些问题的例子如下：

1，行星运动的理论，特别是经典的三体问题， 例如一个小行星在太阳和木星的综合影响下的运动、刚体的回转运动。

2.势论，主要应用于静电学和非粘滞流体的流 体力学中，如贝塞尔(Bessel)函数和勒让德(IJegen- dre)多项式等许多重要的特殊函数就是与势论共同发展起来的。复变函数对于二维问题很有用。

3.振动理论，确定一给定形状的区域或由以不 同方式相互作用着的物体组成的系统的电磁振动或 弹性振动的简正模式。在诸如微波空腔理论、声学和地震学等方面，振动理论也起着重要作用。在这里一些特殊数学函数也很重要。

4.波的传播，包括例如对电磁波或声波的衍射问题的精确解。

5.波动力学问题的求解，例如氦原子或氢分子或在散射过程中所遇到的问题，这些问题复杂到得不出直接的解析解，但仍可足够简单而精确地解出。在这里变分法是最有用的。

6.扩散问题，例如中子在物质中的扩散、热传导和统计力学中的输运现象。

7.色散理论，其中涉及到一体系对不同频率的 外力的反应。物质的光学性质、等离子体物理学和高能物理学就是其中的一些例子。

8.在流体力学、弹性理论等中的非线性问题。

9.与统计力学相关的概率论问题。 直到第二次世界大战期间，数学物理学的主要技巧还是求出问题的解析的数学解。自从第二次世界大战以后，高速计算机已经变得愈来愈重要，并且业已对许多原本不能用解析方法求解的问题实现了 数值解法。 数学物理学这一名词有时候作为理论物理学的同义语来使用。

科学的发展表明，数学物理的内容将越来越丰富，解决物理问题的能力也越来越强。其他各门科学，如化学生物学、地学、经济学等也广泛地利用数学模型来进行研究。数学物理中的许多方法和结果对这些研究发挥了很好的作用。

在工程科学中，处处需要精确地求解物理问题，所以数学物理对于技术进步也有非常重要的意义。此外，数学物理的研究对数学有很大的促进作用。它是产生数学的新思想、新对象、新问题以及新方法的一个源泉。

Encyclopedia of Mathematical Physic

 

 

作者Jean-Pierre Francoise， Gregory L. Naber等 导读：吴岳良 院士（中国科学院理论物理研究所）；

刘克峰 教授（浙江大学数学系）等

出版社：科学出版社 页码：480 页码 出版日：2008年

版次：1版（影印版）

装帧：精装

开本：16

《数学物理学百科全书》是一部全面介绍数学物理知识的百科全书。全书特色鲜明，既体现了学科的基础性、独立性、完整性，又注重学科的前沿性、交叉性、应用性，是当今数学物理研究领域最新和最全的百科全书。本书内容涉及物理学和数学的几乎各个重要研究领域，特别注重数学物理的最新研究成果和在各领域的最新应用，并提供了大量必要的和重要的参考文献，这为有兴趣利用严密的数学框架求解物理问题和描述自然界基本规律的广大科研人员、教师和学生，提供了一部难得的数学物理资料书和实用的工具参考书，也有助于广大读者在了解和掌握物理学和数学前沿发展的基础上，进一步拓展其在交叉学科领域的应用和激发出新的研究方向和领域。

编纂队伍阵容强大——来30个国家的400多位物理学家和数学家，历时4年，倾力奉献。包括诺贝尔物理学奖获得者杨振宁教授和英国牛津大学RogerPenrose教授等。按学科分支重新编排——共分12卷：数学物理导言1卷（含中文翻译），物理学方面7卷（卷2～卷8），数学方面4卷（卷9～卷12）。内容新颖权威——400多篇图文并茂的综述性文章。内容全面系统。领域涵盖广泛，参考文献丰富，可全面了解数学物理基础知识、发展前沿以及核心课题。适用范围广泛——适于物理学和数学领域的所有高等院校的广大师生和科研院所的研究人员及研究生参考使用。

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