科普知识:四维空间中是不是桌子要有四只腿才能立住?
一维空间没桌子,二维空间桌子要两条腿才能立住(就是丌形)(纯属想象),三维要三条腿,那四维空间中是不是桌子有四只腿才能立住?五维呢?六维呢?
其实如果仔细定义一下的话,这样说也不是不行:n维欧几里德仿射空间中的“桌子”最少需要n条“腿”才能“稳定地立住”。
首先我们来定义一下“桌子”。一张n维空间内的“桌子”主要有两个组成部分:“桌面”和“桌脚”。“桌面”应该是一个n-1维的子空间,比如说三维空间的桌面就是一个二维的平面。而“桌脚”则是在桌面下方某处垂直伸出的一根柱子,我们将它简化为一根线段,线段的尽头是一个点。那么,因为“桌脚”伸出的点是n-1维的桌面,伸出的长度是1维的线段,它可以取到的空间是n维空间中的任意点。最后,“稳定地立住”应该是“桌子”只有一种摆放的方法(除去因为空间等距变换得到的不同方式),也就是说,“桌面”和“地面”(也是n-1维空间)的相对位置应该是固定的。如果从“桌面”建立坐标系,“稳定地立住”意思应该是,通过所有“桌脚”端点的n-1维子空间应该只有一个。
那么,结论就很明显了:要确定一个n-1维子空间,需要n个处于一般位置的点。也就是说,要“稳定地立住”,至少需要n个“桌脚”。
证明:
设向量组为欧氏空间 的一组元素,为由 生成的子空间
证明使用到以下定理,定理的证明请自行查阅任何一本线性代数或高等代数教材
定理1:是中包含的最小子空间
定理2:的维数等于 的秩,因此 的秩为
①若原点属于 L
则中有个线性无关的向量,且 β 中没有零向量,那么这个 β 向量的端点加上一个原点,共有 n 个属于 L 的点来确定 L
②若原点不属于 L
从 L 上任取一点 b,向量从原点指向 b,然后以 b 为起点建立另一个线性空间,L 在中的生成元为,则 L 仍然需要 个线性无关的向量生成,加上 一共需要 n 个向量的端点来确定 L
证明的不是很简洁,不知道有没有更直接的定理来证明?
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