代数几何

代数几何是数学的一个分支，正如它的名字所暗示的，代数几何将抽象代数， 特别是交换代数，同几何结合起来。 它可以被认为是对代数方程系统的解集的研究。代数几何以代数簇为研究对象。代数簇是由空间坐标的一个或多个代数方程所确定的点的轨迹。例如，三维空间中的代数簇就是代数曲线与代数曲面。代数几何研究一般代数曲线与代数曲面的几何性质。在多复变函数论、拓扑学、微分方程论和数论中都有应用。

空间的概念对我们来说是熟悉的，我们生活的空间是包含在上下、前后、左右之中的。如果需要描述我们所处的空间中的某一位置，就需要用三个方向来表示，这个意思也就是说空间是“三维”的。

在数学中经常用到“空间”这个概念，它指的范围很广，一般指某种对象（现象、状况、图形、函数等）的任意集合，只要其中说明了“距离”或“邻域”的概念就可以了。而所谓“维”的概念，如果我们所谈到的只是简单的几何图形，如点、线、三角形和多边形……，那么理解维的概念并不困难：点的维数是零；一条线段的维数是一；一个三角形的维数是二；一个立方体内所有点的集合的是三维的。

如果把维度的概念扩充到任意点集合上去的时候，维的概念就不那么容易理解了。比如，什么是四维空间呢？关于四维空间，我国古代有一些说法是很有意思的。最典型的就是对于“宇宙”两字的解释，古人的说法是“四方上下曰宇，古往今来曰宙”，通俗理解：四维空间是在三维空间的基础上再加上时间维作为并列的第四个坐标。

爱因斯坦认为每一瞬间三维空间中的所有实物在占有一定的位置就是四维的。比如我们所住的房子，就是由长度、宽度、高度、和时间制约的。所谓时间制约就是从盖房的时候算起，直到最后房子倒塌为止。

根据上边的说法，几何学和其它科学研究的n维空间的概念，就可以理解成由空间的点的 n个坐标决定。这个空间的图形就定义成满足这个或那个条件的点的轨迹。一般来说，某个图形由 n个条件给出，那么这个图形就是某个 n维的点。至于这个图形到底是什么形象，我们是否能想象得出来，对数学来说是无关紧要的。

几何学中的“维”的概念，实际上就是构成空间的基本元素，也就是点的活动的自由度，或者说是点的坐标。所谓 n维空间，经常是用来表示超出通常的几何直观范围的数学概念的一种几何语言。

从上面的介绍可以看出，几何中的元素可用代数中的是数来表示，代数问题如果通过几何的语言给与直观的描述，有时候可以给代数问题提示适当的解法。比如解三元一次方程组，就可以认为是求解三个平面的交点问题。

用代数的方法研究几何的思想，在继出现解析几何之后，又发展为几何学的另一个分支，这就是代数几何。代数几何学研究的对象是平面的代数曲线、空间的代数曲线和代数曲面。

代数几何学的兴起，主要是源于求解一般的多项式方程组，开展了由这种方程组的解答所构成的空间，也就是所谓代数簇的研究。解析几何学的出发点是引进了坐标系来表示点的位置，同样，对于任何一种代数簇也可以引进坐标，因此，坐标法就成为研究代数几何学的一个有力的工具。

代数几何的研究是从19世纪上半叶关于三次或更高次的平面曲线的研究开始的。例如，阿贝尔在关于椭圆积分的研究中，发现了椭圆函数的双周期性，从而奠定了椭圆曲线理论基础。

黎曼1857年引入并发展了代数函数论，从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上，从而引入了所谓黎曼曲面的概念。

运用这个概念，黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量：亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量。

在黎曼之后，德国数学家诺特等人用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。诺特还对代数曲面的性质进行了研究。他的成果给以后意大利学派的工作建立了基础。

从19世纪末开始，出现了以卡斯特尔诺沃、恩里奎斯和塞维里为代表的意大利学派以及以庞加莱、皮卡和莱夫谢茨为代表的法国学派。他们对复数域上的低维代数簇的分类作了许多非常重要的工作，特别是建立了被认为是代数几何中最漂亮的理论之一的代数曲面分类理论。但是由于早期的代数几何研究缺乏一个严格的理论基础，这些工作中存在不少漏洞和错误，其中个别漏洞直到目前还没有得到弥补。

20世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。20世纪30年代，扎里斯基和范·德·瓦尔登等首先在代数几何研究中引进了交换代数的方法。在此基础上，韦伊在40年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论，然后20世纪50年代中期，法国数学家塞尔把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这个为格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了基础。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。概型的概念是代数簇的推广，它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取，并允许结构层中存在幂零元。

代数几何学中要证明的定理多半是纯几何的，在论证中虽然使用坐标法，但是采用坐标法多建立在射影坐标系的基础上。

在解析几何中，主要是研究一次曲线和曲面、二次曲线和曲面。而在代数几何中主要是研究三次、四次的曲线和曲面以及它们的分类，继而过渡到研究任意的代数流形。

代数几何与数学的许多分支学科有着广泛的联系，如数论、解析几何、微分几何、交换代数、代数群、拓扑学等。代数几何的发展和这些学科的发展起着相互促进的作用。同时，作为一门理论学科，代数几何的应用前景也开始受到人们的注意，其中的一个显着的例子是代数几何在控制论中的应用。

近年来，人们在现代粒子物理的最新的超弦理论中已广泛应用代数几何工具，这预示着抽象的代数几何学将对现代物理学的发展发挥重要的作用。

一个代数簇V的定义方程中的系数以及V中点的坐标通常是在一个固定的域k中选取的，这个域就叫做V的基域。当V为不可约时（即如果V不能分解为两个比它小的代数簇的并）,V上所有以代数式定义的函数全体也构成一个域，叫做V的有理函数域，它是k的一个有限生成扩域。通过这样的一个对应关系，代数几何也可以看成是用几何的语言和观点进行的有限生成扩域的研究。

代数簇V关于基域k的维数可以定义为V的有理函数域在k上的超越次数。一维的代数簇叫做代数曲线,二维的代数簇叫做代数曲面。

代数簇的最简单的例子是平面中的代数曲线。例如，着名的费马猜想（又称费马大定理）就可以归结为下面的问题：在平面中，由方定义 的曲线（称为费马曲线）当n≥3时没有坐标都是非零有理数的点。

另一方面，下面的齐次方程组 在复数域上的射影空间中定义了一条曲线。这是一条椭圆曲线。

人们对代数簇的研究通常分为局部和整体两个方面。局部方面的研究主要是用交换代数方法讨论代数簇中的奇异点以及代数簇在奇异点周围的性质。

作为奇异点的例子,可以考察由方程x2y3所定义的平面曲线中的原点(0,0)。这是一个歧点。 　不带奇异点的代数簇称为非奇异代数簇。数学家広中平佑在1964年证明了基域k的特征为0时的奇点解消定理：任意代数簇都是某个非奇异代数簇在双有理映射下的像。

一个代数簇V1到另一个代数簇V2的映射称为双有理映射，如果它诱导有理函数域之间的同构。两个代数簇V1，V2称为双有理等价的，如果在V1中有一个稠密开集同构于V2的一个稠密开集。这个条件等价于V1和V2的有理函数域同构。由于这个等价关系，代数簇的分类常常可以归结为对代数簇的双有理等价类的分类。

当前代数几何研究的重点是整体问题，主要是代数簇的分类以及给定的代数簇中的子簇的性质。同调代数的方法在这类研究中起着关键的作用。

代数几何中的分类理论是这样建立的：对每个有关的分类对象（这样的分类对象可以是某一类代数簇，例如非奇异射影代数曲线，也可以是有关的代数簇的双有理等价类），人们可以找到一组对应的整数，称为它的数值不变量。例如在射影代数簇的情形，它的各阶上同调空间的维数就都是数值不变量。然后试图在所有具有相同的数值不变量的分类对象组成的集合上建立一个自然的代数结构，称为它们的参量簇，使得当参量簇中的点在某个代数结构中变化时，对应的分类对象也在相应的代数结构中变化。

建立有较完整的分类理论的只有代数曲线、代数曲面的一部分，以及少数特殊的高维代数簇。现在研究得最深入的是代数曲线和阿贝尔簇的分类。

与子簇问题密切相关的有着名的霍奇猜想:设X是复数域上的一个非奇异射影代数簇，p为小于X的维数的一个正整数。则X上任一型为(p,p)的整上同调类中都有代数代表元。

代数几何的起源很自然地是从关于平面中的代数曲线的研究开始的。对于一条平面曲线，人们首先注意到的一个数值不变量是它的次数，即定义这条曲线的方程的次数。由于次数为一或二的曲线都是有理曲线（即在代数几何的意义下同构于直线的曲线），人们今天一般认为，代数几何的研究是从19世纪上半叶关于三次或更高次的平面曲线的研究开始的（早期人们研究的代数簇都是定义在复数域上的）。例如，N.H.阿贝尔在1827～1829年关于椭圆积分的研究中，发现了椭圆函数的双周期性，从而奠定了椭圆曲线（它们都可以表示成平面中的三次曲线）理论基础。另一方面，C.G.J.雅可比考虑了椭圆积分反函数问题，他的工作是今天代数几何中许多重要概念的基础（如曲线的雅可比簇、θ函数等）。

黎曼1857年引入并发展了代数函数论；从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上，从而引入了所谓黎曼曲面的概念。

用现代的语言，紧致的黎曼曲面就一一对应于抽象的射影代数曲线。

黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量“亏格”。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量（即不依赖于代数簇在空间中的嵌入的不变量）。黎曼还首次考虑了亏格g相同的所有黎曼曲面的双有理等价类的参量簇问题，并发现这个参量簇的维数应当是3g-3，虽然黎曼未能严格证明它的存在性。

黎曼还应用解析方法证明了黎曼不等式：l（D）≥d(D)-g+1,这里D是给定的黎曼曲面上的除子。随后他的学生G.罗赫在这个不等式中加入一项，使它变成了等式。这个等式就是着名的F.希策布鲁赫和A.格罗腾迪克的黎曼-罗赫定理的原始形式（见代数函数域）。

概型理论的另一个重要意义是把代数几何和代数数域的算术统一到了一个共同的语言之下，这使得在代数数论的研究中可以应用代数几何中大量的概念、方法和结果。这种应用的两个典型的例子就是：①P.德利涅于1973年把韦伊关于ζ函数的定理推广到了有限域上的任意代数簇,即证明了着名的韦伊猜想,正是利用了格罗腾迪克的概型理论。②G.法尔廷斯在1983年证明了莫德尔猜想。这个结果的一个直接推论是费马方程xn+yn=1在n≥4时最多只有有限多个非零有理解，从而使费马猜想的研究获得了一个重大突破。

在另一方面，20世纪以来复数域上代数几何中的超越方法也得到了重大的进展,例如G.-W.德·拉姆的解析上同调理论，W.V.D.霍奇的调和积分论的应用，以及小平邦彦和D.C.斯潘塞的变形理论以及P.格里菲思的一些重要工作等。

周炜良对20世纪前期的代数几何发展作出了许多重要的贡献。他建立的周环、周簇、周坐标等概念对代数几何的许多领域的发展起了重要的作用。他还证明了着名的周定理：若一个紧致复解析流形是射影的，则它必定是代数簇。

20世纪后期，在古典的复数域上低维代数簇的分类理论方面也取得了许多重大进展。在代数曲线的分类方面，由于D.B.芒福德等人的工作，人们对代数曲线参量簇 Mg已经有了极其深刻的了解。芒福德在60年代把格罗腾迪克的概型理论用到古典的不变量理论上，从而创立了几何不变量理论,并用它证明了Mg的存在性以及它的拟射影性。人们已经知道 Mg是一个不可约代数簇，而且当g≥24时是一般型的。对Mg的子代数簇的性质也开始有所了解。

代数曲面的分类理论也有很大的进展。例如,60年代中期小平邦彦彻底弄清了椭圆曲面的分类和性质；1976年,丘成桐和宫冈洋一同时证明了一般型代数曲面的一个重要不等式:с娝≤3с2,其中с娝和с2是曲面的陈数。同时，三维或更高维代数簇的分类问题也开始引起人们越来越大的兴趣。

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书名：Algebraic Geometry(代数几何)

ISBN：9787302140801

作者：扶磊

定价：39元

出版日期：2006-11-13

出版社：清华大学出版社

In spirit, this book is closer to Elements de Geometrie Algebrique (EGA) than the existing textbooks on algebraic geometry. It prvides an introduction to schemes, formal schemesc coherent sheaves, and their cohomologies. The prerequisites for reading this book is the knowledge of commutative algebra up to the level of Ateyah-Macdonald's book. The material on algebraic geometry covered in this book provides adequate preparation for reading more advanced books such as Seminaire de Geometrie Algebrique (SGA).

1 Schemes and Coherent Sheaves1

1.1 Presheaves and Sheaves1

1.2 Schemes and Morphisms17

1.3 Properties of Schemes and Morphisms28

1.4 Coherent Sheaves58

1.5 Formal Completions of Schemes and Sheaves92

2 Cohomology118

2.1 Derived Functors118

2.2 Spectral Sequences152

2.3 ?ech Cohomology172

2.4 Cohomology of Affine and Projective Schemes184

2.5 Cohomological Study of Proper Morphisms199

2.6 Local Freeness of Higher Direct Images214

2.7 Grothendieck's Existence Theorem231

Bibliography257

Index258